EXP. ALGEBRAICAS

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TRASLATE

viernes, 9 de octubre de 2015

Proxima Semana del lunes 12 al viernes

8:43 a.m. | Publicadas por | | Editar entrada
Operaciones con  monomios  y polinomios:
suma, resta, multiplicación y división.
Martes
Enviar foto de dos ejemplos de suma y resta hecho en la libreta, al correo.
Jueves
Enviar foto de dos ejmplos de multiplicación y división, hecho en la libreta .al correo.
nos vemos el 19 si dios quiere.

| 2 comentarios
martes, 19 de mayo de 2015

PRACTICA NÚMEROS NATURALES

11:27 a.m. | Publicadas por | | Editar entrada
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:
5 > 3;    5 es mayor que 3.
3 < 5;    3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.
Operaciones con números naturales
Suma de números naturales
a + b = c
Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.
Propiedades de la suma
1.Interna: a + b PerteneceConjunto de los números naturales
2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
3.Conmutativa: a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4. Elemento neutro: a + 0 = a
3 + 0 = 3
Resta de números naturales
a - b = c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta
1. No es una operación interna
2 − 5 pertenece Números naturales
2. No es Conmutativa
5 − 2 ≠ 2 − 5
Mutiplicación de números naturales
a · b = c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación
1. Interna: a · b PerteneceConjunto de los números naturales
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3. Conmutativa: a · b = b · a
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
4. Elemento neutro: a · 1 = a
3 · 1 = 3
5. Distributiva: a · (b + c) = a · b
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
+ a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
División de números naturales
D : d = c
Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.
Propiedades de la división
1.División exacta
División exacta15 = 5 · 3
2. División entera
División entera17 = 5 · 3 + 2
3. No es una operación interna
2 : 6 pertenece Números naturales
4. No es Conmutativo.
6 : 2 ≠ 2 : 6
5. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : 5 = 0
6. No se puede dividir por 0.
Propiedades de las potencias
1.a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n
25 · 22 = 25+2 = 27
4. Cocointe de potencias con la misma base: am : a n = am - n
25 : 22 = 25 - 2 = 23
5. Potencia de una potencia: (am)n = am · n
(25)3 = 215
6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · bn = (a · b)n
23 · 43 = 83
7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n
63 : 33 = 23
Ejercicios de potencias
1 33 · 34 · 3 = 38
2 57 : 53 = 54
3 (53)4 = 512
4 (5 · 2 · 3) 4 = 304
5(34)4 = 316
6 [(53)4]2 = (512)2 = 524
7 (82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218
8 (93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312
9 25 · 24 · 2 = 210
10 27 : 26 = 2
11 (22)4 = 28
12 (4 · 2 · 3)4 = 244
13(25)4 = 220
14 [(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1
15 (272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330
16 (43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212
Propiedades de las raíces
1.Raíz exacta: Radicando= (Raíz)2
raíz cuadrada exacta
2. Raíz entera: Radicando= (Raíz)2 + Resto
raíz cuadrada exacta
Prioridades en las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.
1. Operaciones combinadas sin paréntesis
1.1 Combinación de sumas y diferencias.
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7
1.2 Combinación de sumas, restas y productos.
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
1.3 Combinación de sumas, restas , productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =
Seguimos con los productos y cocientes.
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 26
2. Operaciones combinadas con paréntesis
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)=
Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes
[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos en los corchetes.
= 12 · 7 − 3 + 2
Multiplicamos.
= 84 − 3 + 2=
Restamos y sumamos.
= 83
Ejercicios de operaciones combinadas con números naturales
1- 27 + 3 · 5 – 16 =
27 + 3 · 5 – 16 = 27 + 15 − 16 = 26
2- 27 + 3 – 45 : 5 + 16=
27 + 3 – 45 : 5 + 16 = 37
3-(2 · 4 + 12) (6 − 4) =
(2 · 4 + 12) (6 − 4) = (8 + 12) (2) = 20 · 2 = 40
4- 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =
3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 = 27 + 8 – 3 = 32
5- 2 + 5 · (2 ·3)³ =
2 + 5 · (2 ·3)³ = 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 + 1080 = 1082
6- 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
440 − [30 + 6 (19 − 12)] = 440 − (30 + 6 · 7)] = 440 − (30 + 42) =
= 440 − (72) = 368
7- 2{4[7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
= 2{4[7 + 4 (15 − 9)] − 3 (40 − 8)}=
= 2[4 (7 + 4 · 6) − 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) − 3 (32)]=
2[4 (31) − 3 (32)]= 2 (124 − 96)= 2 (28)= 56
8-  7 · 3 + [ 6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · http://www.vitutor.net/images/303.gif] + 9 : 3 =
= 7 · 3 + [ 6 + 2 · (8 : 4 + 3 · 2) – 7 · 2 ] + 9 : 3 =
= 21 + [ 6 + 2 · (2+ 6) – 14] +3 =
= 21 + ( 6 + 2 · 8 – 14) +3 =
= 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 =

= 21 + 8 + 3 = 32
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domingo, 15 de marzo de 2015

FUNCION

11:08 a.m. | Publicadas por | | Editar entrada
SALUDOS. HACER  Y ENVIAR A MAS TARDAR EL MARTES POR EMAIL. 
pemahebrucne@gmail.com


TRABAJO
DE
MATEMATICAS
1-. PRODUCTO CARTESIANO
El producto cartesiano de dos conjuntos A x B es el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar con un elemento perteneciente al conjunto A y un elemento del conjunto B.
'Aplicaciones matemáticas'
Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden y recibe el nombre de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por coma.
'Aplicaciones matemáticas'
ejemplo n° 1:
'Aplicaciones matemáticas'
ejemplo n° 2:
Si A ={1,2} y B ={-1,O,1} entonces A x B ={(1,-1), (1,0), (1,1), (2,-1), (2,0), (2,1)}. A tiene 2 elementos, B tiene 3, y A x B tiene 2 x 3 = 6
Ejemplo n° 3:
Si A = B = R, entonces R al cuadrado es llamado el plano cartesiano. Las caricaturas y demás objetos bidimensionales viven en R al cuadrado: un círculo no es otra cosa que cierto subconjunto de R al cuadrado (dé un ejemplo). Nosotros, los seres tridimensionales, vivimos en R al cuadrado x R
2-. CONJUNTO CARTESIANO
Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados.
Ejemplo n° 1:
'Aplicaciones matemáticas'
Este ejemplo gráfico nos muestra la agrupación llamado Alumnos de Colegio con sus elementos que serían: Luis, Antonio, Paula y Pánfilo
3-. RELACION MATEMÁTICA
El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.
Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:
Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)
Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:
S ---> I
Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.
Ejemplos de relación
A = {1, 4, 6}
B = {2, 3, 7}
La relación que existe entre A y B es mayor que, por lo que:
ARB={ (6,2) (4,2) (6,3) (4,3)}
4-. TIPOS DE RELACION:
RELACION REFLEJA ( O REFLEXIVA )
R es una relación refleja en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada elemento de
él está relacionado consigo mismo:
a ð A ð a R a
Ejemplo:
A = { 1 , 2 , 3 }
R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }
RELACION SIMETRICA
R es una relación simétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de
elementos de él satisface lo siguiente:
a R b ð b R a
Ejemplo:
A = { 1 , 2 , 3 }
R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }
RELACION ANTISIMETRICA
R es una relación antisimétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de
elementos de él satisface lo siguiente:
a R b ð b R a ð a = b
Ejemplo:
A = { 1 , 2 , 3 }
R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) }
RELACION TRANSITIVA
R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada trío de
elementos de él satisface lo siguiente:
a R b ð b R c ð a R c
Ejemplo:
A = { 1 , 2 , 3 }
R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 3 ) }
5-. CLASIFICACION DE RELACIONES
RELACION DE EQUIVALENCIA
R es una relación de equivalencia en un conjunto A no vacío , si y sólo si es
refleja, simétrica y transitiva en ese conjunto A .
Ejemplo:
La relación "igual que" ( = ) en el conjunto de los números enteros.
Sean a , b y c números enteros cualesquiera, entonces:
a = a ( Reflexividad )
a = b ð b = a ( Simetría )
a = b ð b = c ð a = c ( Transitividad )
RELACION DE ORDEN
R es una relación de orden en un conjunto A no vacío , si y sólo si es refleja,
antisimétrica y transitiva en ese conjunto A .
Ejemplo:
La relación "menor o igual que" ( ð ) en el conjunto de los números enteros.
Sean a , b y c números enteros cualesquiera, entonces:
a ð a ( Reflexividad )
a ð b ð b ð a ð a = b ( Antisimetría )
a ð b ð b ð c ð a ð c ( Transitividad )
6-. FUNCION
Sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B , si y sólo si
f es una relación de A a B que a cada elemento de A le hace corresponder un y
sólo un elemento de B .
Ejemplo:
A = { a , e , i }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 }
f = { ( a , 3 ) , ( e , 7 ) , ( i , 7 ) }
Además su dominio es:
Dom f = A
Su codominio es:
Codom f = B
Su recorrido ( o rango ) es:
Rec f = { 3 , 7 }
Este último es el conjunto de las imágenes de A bajo f .
7-. FUNCION VALOR-ABSOLUTO
La funcion valor absoluto esta definida de la siguiente manera:
'Aplicaciones matemáticas'
Graficamente la función IxI es
'Aplicaciones matemáticas'
Si x es positivo no afecta la función en el número
Si x es negativo la función "lleva al numero" a su inverso aditivo
El valor absoluto de un número real nunca es negativo
Al valor absoluto de un número también se le denomina Módulo
Antes de resolver algunos ejercicios veamos algunas propiedades básicas del valor absoluto. Es claro que la definición de valor absoluto que
'Aplicaciones matemáticas'
8-. FUNCION PARTE ENTERA
La función parte entera 'Aplicaciones matemáticas'
está definida por:
1. La función piso si es el menor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x. De esta forma, si x es un número entero, su parte entera es el mismo entero. Si x = 5/2 entonces su parte entera será 2.
2. La función techo si es el mayor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x.
Siempre se tiene que
'Aplicaciones matemáticas'
y a la izquierda hay una igualdad si y sólo si x es entero.
Para todo entero k y para todo número real x se tiene:
'Aplicaciones matemáticas'
El redondeo usual del número x al entero más próximo se puede expresar como la parte entera de x + 0,5.
La derivada de la función parte entera no está definida en los números enteros, y en cualquier otro punto vale 0.
9-. FUNCION CUADRÁTICA
Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma
f(x)= ax2+bx+c
donde a,b y c son constantes y a # 0
La gráfica de una fución cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los númeos reales.
Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo.
A continuación se muestran dos funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadràticas.
f(x)= x2 - 5x + 4 f(x)= - x2 - 5x + 4
'Aplicaciones matemáticas'
'Aplicaciones matemáticas'
x
f(x)
0
4
1
0
2
-2
4
0
5
4
x
f(x)
-6
-2
-5
4
-1
8
0
4
1
-2

10-. FUNCION LOGARITMO
'Aplicaciones matemáticas'
La expresión lnx se lee "logaritmo natural de x".
'Aplicaciones matemáticas'
La siguiente figura ilustra la interpretación de lnx como un área, para el caso x > 1:
'Aplicaciones matemáticas'
'Aplicaciones matemáticas'
'Aplicaciones matemáticas'
Grafica de la función logaritmo natural:
'Aplicaciones matemáticas'
'Aplicaciones matemáticas'
'Aplicaciones matemáticas'
Para calcular el valor aproximado de y cuando x = 2, se puede aplicar la Regla de Simpson.
11-. FUNCION Ex (no la encontré)
12-. FUNCION RAIZ CUADRADA
En matemáticas, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de x se denota por "x. Por ejemplo, "16 = 4, ya que 4 × 4 = 16, y "2 = 1,41421... . Las raíces cuadradas son importantes en la resolución de ecuaciones cuadráticas.
La generalización de la función raíz cuadrada a los números negativos da lugar a los números imaginarios y al campo de los números complejos.
El símbolo de la raíz cuadrada se empleó por primera vez en el siglo XVI. Se ha especulado con que tuvo su origen en una forma alterada de la letra r minúscula, que representaría la palabra latina "radix", que significa "raíz".
Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números positivos x, y:
'Aplicaciones matemáticas'
'Aplicaciones matemáticas'
'Aplicaciones matemáticas'
para todo número real x
'Aplicaciones matemáticas'
La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; "x es racional si y sólo si x es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es 12 = 1, entonces se trata de un número natural. Sin embargo, "2 es irracional.
La función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.
13-. TIPOS DE FUNCIONES :
FUNCION INYECTIVA
Sea f una función de A en B , f es una función inyectiva , si y sólo si cada
elemento de B es imagen de a lo más un elemento de A , bajo f .
Ejemplo:
A = { a , e , i }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 }
f = { ( a , 7 ) , ( e , 1 ) , ( i , 5 ) }
FUNCION EPIYECTIVA ( O SOBREYECTIVA )
Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva , si y sólo si cada
elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 }
f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }
FUNCION BIYECTIVA
Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es
epiyectiva e inyectiva a la vez .
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }
Teorema:
Si f es biyectiva , entonces su inversa f - 1 es también una función y además

biyectiva.
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